Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°≤α≤180°），BD的延長(zhǎng)線交直線CE于點(diǎn)P．
（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是

 

，位置關(guān)系是

 

；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，求出CP的長(zhǎng)；
（3）在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進(jìn)而求出四邊形ADPE為正方形，即可得出CP的長(zhǎng)；
（3）由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時(shí)∠AOP=60°，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的

AP

+

PA

，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可．

解答：解：（1）BD=EC，BD⊥CE；
理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，
∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4，
∴D，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；
故答案為：BD=EC，BD⊥CE；

（2）如圖3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠1=∠2，
∴BP⊥CE，
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，
∴四邊形ADPE為正方形，
∴AD=PE=2，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，
∴∠ABD=30°，
∴BD=CE=2

3

，
∴CP=CE-PE=2

3

-2；

（3）如圖4，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，
∴OP=OA=

1

2

BC=2

2

，
在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°≤α≤180°），
由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，
∠PBA最大，且∠PBA=30°，
此時(shí)∠AOP=60°，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的

AP

+

PA

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：
l=

AP

+

PA

=2

AP

=

60×π×2 2

180

×2=

4 2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換綜合題以及弧長(zhǎng)公式和正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是解題關(guān)鍵．