Question

【題目】我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ACDM是“等鄰邊四邊形”時(shí)，BM的長(zhǎng)為___________．

Answer 1

【答案】2或3或

【解析】

分AM=AC、DM=DC、MD=MA三種情況考慮，當(dāng)AM=AC時(shí)，由AC、AB的長(zhǎng)度即可得出BM的長(zhǎng)度；當(dāng)DM=DC時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，通過解直角三角形可得出BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得出BM的長(zhǎng)度；當(dāng)MD=MA時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)EM=x，則AM=-x，利用勾股定理表示出DM2的值，結(jié)合MD=MA即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而即可得出BM的長(zhǎng)度．綜上即可得出結(jié)論．

當(dāng)AM=AC時(shí)，如圖1所示．

∵AB=4，AC=2，

∴BM=AB-AM=AB-AC=4-2=2；

當(dāng)DM=DC時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖2所示．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=2，

∴BC=，∠B=30°．

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=DM=．

在Rt△BDE中，BD=，∠B=30°，∠BED=90°，

∴DE=BD=，BE=．

∵DB=DM，DE⊥BM，

∴BM=2BE=3；

當(dāng)MD=MA時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖3所示．

∵BE=，AB=4，

∴AE=．

設(shè)EM=x，則AM=-x．

在Rt△DEM中，DE=，∠DEM=90°，EM=x，

∴DM2=DE2+EM2=+x2．

∵MD=MA，

∴+x2=（-x）2，

解得：x=，

∴BM=BE+EM=+=．

綜上所述：當(dāng)四邊形ACDM是“等鄰邊四邊形”時(shí)，BM的長(zhǎng)為2或3或．

故答案為：2或3或．