Question

如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，O為坐標原點，點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，且OB＞OA．設點C（0，-4），OA²+OB²=17，線段OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）設上述拋物線的頂點為P，求直線PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意分別求出A、B、C三點坐標，再將A、B、C三點坐標代入y=ax²-+bx+c即可求得拋物線的解析式；
（2）先拋物線的解析式求出頂點P的坐標，進而便可求出直線PB的解析式．

解答：解：（1）∵OA、OB是方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
∴OA+OB=mOA•OB=2（m-3），（1分）
∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=17，
∴m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，（1分）
∴m₁=5，m₂=-1，（1分）
∵OA+OB=m＞0，
∴m=-1（舍去），（1分）
當m=5時，x²-5x+4=0，
∴x₁=1．x₂=4，（1分）
∵OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
按題意得A（-1，0），B（4，0），
將A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）代入y=ax²-+bx+c，
可得

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4

，
解得

a=1 b=-3 c=-4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4；（1分）

（2）∵y=x2-3x-4=(x-

3

2

)2-

25

4

，
∴點P(

3

2

， -

25

4

)，（1分）
設直線PB的解析式為y=kx+m，（1分）
則

4k+m=0 3 2 k+m=- 25 4

，
解得

k= 5 2 m=-10

，
即y=

5

2

x-10．（1分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的公式和解一元二次方程等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．