Question

（2013•菏澤）如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與y軸的交點，點B在二次函數(shù)y=

1

8

x2+bx+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．
（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：
①當(dāng)P運動到何處時，有PQ⊥AC？
②當(dāng)P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、點C坐標(biāo)，再由△ABC是等腰三角形可求出點B坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性性質(zhì)求出點D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出b、c的值，繼而得出二次函數(shù)表達(dá)式．
（2）①設(shè)點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5-t，再由△APQ∽△CAO，利用對應(yīng)邊成比例可求出t的值，繼而確定點P的位置；
②只需使△APQ的面積最大，就能滿足四邊形PDCQ的面積最小，設(shè)△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽CAO，利用對應(yīng)邊成比例得出h的表達(dá)式，繼而表示出△APQ的面積表達(dá)式，利用配方法求出最大值，即可得出四邊形PDCQ的最小值，也可確定點P的位置．

解答：解：（1）由y=-

3

4

x+3，
令x=0，得y=3，所以點A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以點C（4，0），
∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，
∴B點坐標(biāo)為（-4，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴D點坐標(biāo)為（8，3），
將點B（-4，0）、點D（8，3）代入二次函數(shù)y=

1

8

x²+bx+c，可得

2-4b+c=0 8+8b+c=3

，
解得：

b=- 1 4 c=-3

，
故該二次函數(shù)解析式為：y=

1

8

x²-

1

4

x-3．

（2）①設(shè)點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵PQ⊥AC，
∴△APQ∽△CAO，
∴

AP

AC

=

AQ

CO

，即

t

5

=

5-t

4

，
解得：t=

25

9

．
即當(dāng)點P運動到距離A點

25

9

個單位長度處，有PQ⊥AC．
②∵S_{四邊形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=

1

2

×8×3=12，
∴當(dāng)△APQ的面積最大時，四邊形PDCQ的面積最小，
當(dāng)動點P運動t秒時，AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
設(shè)△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽CAO可得：

h

3

=

5-t

5

，
解得：h=

3

5

（5-t），
∴S_△APQ=

1

2

t×

3

5

（5-t）=

3

10

（-t²+5t）=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當(dāng)t=

5

2

時，S_△APQ達(dá)到最大值

15

8

，此時S_{四邊形PDCQ}=12-

15

8

=

81

8

，
故當(dāng)點P運動到距離點A

5

2

個單位處時，四邊形PDCQ面積最小，最小值為

81

8

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找到滿足題意時的相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例的知識得出有關(guān)線段的長度或表達(dá)式，難度較大．