Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，且點與點關于軸對稱．

（1）求直線的解析式；

（2）點為線段上一點，點為線段上一點，，連接，設點的橫坐標為，的面積為（），求與之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當取最大值時，若點是平面內(nèi)的一點，在直線上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，N點坐標為(，)或(，)或(0，3)或(，)

【解析】

(1)求出A(-4，0)，B(0，3)，C(4，0)，利用待定系數(shù)法求BC的解析式即可；
(2)過點A作AD⊥BC于點D，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥OB于點F，設點P的坐標為(，)，求出AD的長，利用三角形函數(shù)求出，BQ=AB-PB=5+，再由，代入所求量即可求解；
(3)由(2)求出P、Q點坐標，分四種情況分別求N點坐標：當N點在PQ上方時；當N點在PQ下方時；當PQ為菱形對角線時；當PN為菱形對角線時．

(1)對于直線當，；當，，
∴，
∵點C與點A關于y軸對稱，
∴點C的坐標為，
設直線BC的解析式為，
將點B、C代入解析式可得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為；

(2)如圖：過點A作AD⊥BC于點D，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥OB于點F，

∵，C，

∴OA=OC=4，OB=3，
∴AC=8，AB=BC=5，
∴，即，

∴，

∵點P在直線上，

設點P的坐標為(，)，

∴，cos∠BPF=cos∠BAO，

即，

∴，

∵，

∴，

∵AP=BQ，
∴，

∴；

(3)∵，

∴當時，S有最大值，
∴點P的坐標為(，)，

∴，

∵點Q在直線上，

設點Q的坐標為(，)，

∵，

∴，

解得：，
∵Q在線段BC上，
∴，
∴點Q的坐標為(，)，

∴PQ∥x軸，

∴，
如圖：當N點在PQ上方時，過N點作NH⊥PQ交于點H，

∵PQ∥軸，

∴，

∵PN=PQ=4，

∴，

∴N點縱坐標為，

∴N點橫坐標為，

解得：，

∴點N的坐標為(，)，

同理，當N點在PQ下方時，N點縱坐標為，

∴點N的坐標為(，)；

∵P、Q關于y軸對稱，當PQ為菱形對角線時，
∴當點N的坐標為(0，3)時，NPMQ是菱形；
如圖：當PN為菱形對角線時，
作Q點關于直線對稱的點為M，
設QM與PN的交點為G，過G點作LK⊥PQ交PQ于點K，交MN于點L，

∵MQ⊥PN，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵點P，Q，N，M為頂點的四邊形是菱形，且PN為菱形對角線，

∴MN∥PQ，即ML∥KQ，

又∵Q點關于直線對稱的點為M，

∴QG=GM

∴，

∴，

∴N點縱坐標為，

∴N點橫坐標為，

解得：，

∴點N的坐標為(，)，

綜上所述：點P，Q，M，N為頂點的四邊形是菱形時，N點坐標為(，)或(，)或(0，3)或(，) ．