Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD．
（1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；
（2）若∠B+2∠DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤�段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出△AHD≌△AMD，從而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化可證明∠B與∠AHD互補(bǔ)．
（2）由（1）的結(jié)論中得出的∠AHD=∠AMD，結(jié)合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM，可將HD轉(zhuǎn)化為MG，從而在線段AG上可解決問(wèn)題．

解答：證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，
∵

AH=AM ∠CAD=∠BAD AD=AD

，
∴△AHD≌△AMD，
∴HD=MD，∠AHD=∠AMD，
∵HD=DB，
∴DB=MD，
∴∠DMB=∠B，
∵∠AMD+∠DMB=180°，
∴∠AHD+∠B=180°，
即∠B與∠AHD互補(bǔ)．

（2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，
∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA，
∴∠AMD=2∠DGM，
又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM，
∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM，
∴MD=MG，
∴HD=MG，
∵AG=AM+MG，
∴AG=AH+HD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的知識(shí)，解決這兩問(wèn)的關(guān)鍵都是通過(guò)全等圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，將題目涉及的角或邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．