Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于C（0，2

3

）．
（1）求拋物線的解析式；  
（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長；
（3）若點(diǎn)P是此拋物線上在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)交點(diǎn)式可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程，聯(lián)立直線OD的解析式求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；由于⊙D與x軸相切，那么D點(diǎn)縱坐標(biāo)即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關(guān)鍵是求出圓心角∠EDF的度數(shù)．連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過解直角三角形求得∠EDM的度數(shù)，由垂徑定理得到∠EDF的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)弧長計(jì)算公式求出劣弧EF的長；
（3）先用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)直線AC與PG的交點(diǎn)為N，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)拋物線與直線AC的解析式得到P、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可用含m的代數(shù)式分別表示出PN，NG的長；然后在Rt△PGA中，由于△PNA與△NGA同高，所以它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此分兩種情況討論：①△PNA的面積是△NGA面積的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA面積的

1

2

，則NG=2PN；根據(jù)上述兩種情況所得的不同等量關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而由拋物線的解析式確定出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（6，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），
又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2

3

），
∴2

3

=a（0-2）（0-6），
解得a=

3

6

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

6

（x-2）（x-6），
即y=

3

6

x²-

4 3

3

x+2

3

；

（2）易知拋物線的對稱軸是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．
連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．
在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4，
∴cos∠MDF=

1

2

，
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°，
∴劣弧EF的長為：

120π×8

180

=

16π

3

；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），C（0，2

3

），
∴

2k+b=0 b=2 3

，
解得

k=- 3 b=2 3

，
∴直線AC的解析式為：y=-

3

x+2

3

．
設(shè)點(diǎn)P（m，

3

6

m²-

4 3

3

m+2

3

）（m＜0），PG交直線AC于N，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，-

3

m+2

3

）．
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN，
∴分兩種情況：
①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=

3

2

GN，
即

3

6

m²-

4 3

3

m+2

3

=

3

2

（-

3

m+2

3

），
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）．
當(dāng)m=-3時(shí)，

3

6

m²-

4 3

3

m+2

3

=

15 3

2

；
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，

15 3

2

）；
②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；
即

3

6

m²-

4 3

3

m+2

3

=3（-

3

m+2

3

），
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）．
當(dāng)m₁=-12時(shí)，

3

6

m²-

4 3

3

m+2

3

=42

3

．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-12，42

3

）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，

15 3

2

）或（-12，42

3

）時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)，需要特別注意的是（3）題中，△PGA被直線AC所分成的兩部分中，并沒有明確誰大誰小，所以要分類討論，以免漏解．