Question

（2013年四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.

（1）求證:△APB∽△PEC;

（2）若CE＝3,求BP的長.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°。

∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP。

∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC。

∴△APB∽△PEC。

（2）過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，

∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4。

∵△APB∽△PEC，∴。

設(shè)BP=x，則PC=7-x，

∵EC=3，AB=4，∴。

解得：x₁=3，x₂=4，

經(jīng)檢驗：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解。

∴BP的長為：3或4。

【解析】（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC。

（2）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。

考點：等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)。