Question

如圖．以O(shè)為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點C．與OB相交于點D，且OD=BD，己知sinA=

2

5

，AC=

21

．
（1）求⊙O的半徑：
（2）求圖中陰影部分的面枳．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出CO⊥AB，再根據(jù)解直角三角形得出CO，AO的關(guān)系，進(jìn)而得出它們的長度，即可得出半徑長度；
（2）根據(jù)已知得出∠COD=60°，進(jìn)而利用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．

解答：解：（1）連接OC，
∵以O(shè)為圓心的圓與△AOB的邊AB相切于點C．
∴CO⊥AB，
∵sinA=

2

5

=

CO

AO

，
∵AC=

21

．
∴假設(shè)CO=2x，AO=5x，
4x²+21=25x²，
解得：x=1，
∴CO=2，
∴⊙O的半徑為2；

（2）∵⊙O的半徑為2，
∴DO=2，
∵DO=DB，
∴BO=4，
∴BC=2

3

，
∴2CO=BO，
∵OC⊥BC，
∴∠CBO=30°，
∠COD=60°，
圖中陰影部分的面枳為：S_△OCB-S_扇形COD=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

點評：此題主要考查了扇形面積求法以及切線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識，得出圖中陰影部分的面枳為：S_△OCB-S_扇形COD是解決問題的關(guān)鍵．