Question

如圖，AB是半徑為R的圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F(xiàn)，N在半圓上．求證：兩個(gè)正方形的面積之和為一定值．

Answer 1

分析：分別設(shè)出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，連接ON，OF，在直角三角形中運(yùn)用勾股定理表示CO，OE的長(zhǎng)，把這兩邊的長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)聯(lián)系，得到等量關(guān)系，然后把得到的定理關(guān)系通過(guò)兩邊平方化簡(jiǎn)，求出兩個(gè)正方形的面積的和．

解答：證明：如圖，連接ON，OF，設(shè)正方形CDMN的邊長(zhǎng)為a，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為b，
則OE=

R2-b2

，OC=

R2- a2

，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：

R2-a2

-a=b-

R2-b2

得到：

R2- a2

+

R2- b2

=a+b
兩邊平方得：R²-a²+2

R2-a2

•

R2-b2

+R²-b²=a²+2ab+b²
整理得：

R2-a2

•

R2-b2

=a²+b²+ab-R²
兩邊再次平方得：R⁴-（a²+b²）R²+a²b²=（a²+b²+ab）²-2（a²+b²+ab）R²+R⁴，
整理得：a²+b²=R²．
所以兩個(gè)正方形的面積之和為一定值，這個(gè)值就是R²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，連接ON，OF，得到兩個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理用二次根式表示OE，OC的長(zhǎng)，然后由正方形的邊長(zhǎng)找到等量關(guān)系，通過(guò)兩次兩邊平方確定根號(hào)，得到兩個(gè)正方形的面積和與半徑R的關(guān)系，確定兩個(gè)正方形的面積和是一定值．