Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，軸，且，直線是拋物線的對(duì)稱軸，是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求、的值；

（2）如圖①，連接，線段上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在線段上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)，使得與的面積相等，且線段的長(zhǎng)度最��？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為和

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，拋物線上的點(diǎn)代入，即可；（2）先求F的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線BE，即可；（3）構(gòu)造新的二次函數(shù)，利用其性質(zhì)求極值.

試題解析：.解：（1） 軸， ， 拋物線對(duì)稱軸為直線

點(diǎn)的坐標(biāo)為

解得 或 （舍去），

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 對(duì)稱軸為直線點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 的坐標(biāo)為.

直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 利用待定系數(shù)法可得直線的表達(dá)式為 .

因?yàn)辄c(diǎn)在上， 即點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）存在點(diǎn) 滿足題意.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則

作 垂足為

①點(diǎn) 在直線的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 在中， 時(shí)， 取最小值 .此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

②點(diǎn)在直線的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為同理， 時(shí)， 取最小值 .此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述：滿足題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為和