Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸的另一交點(diǎn)為B（10，0），又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)、拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）在圖1中的上找一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最��；并求△PAC周長的最小值；
（3）如圖2，在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)（M不與端點(diǎn)C、O重合），過點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H，設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為秒，試把△PHM的面積S表示成時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)中交點(diǎn)求法得出A，C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由軸對(duì)稱可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高關(guān)于t的式子，因?yàn)镸H∥BC，得到△MHP三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得S的最大值．
解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A，
所以當(dāng)y=0，則x=-6，
所以點(diǎn)A（-6，0）．
同理點(diǎn)C（0，8），
點(diǎn)B（10，0），
由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y=ax²+bx+c，
，
解得：，
得出y==-（x-2）²+．
頂點(diǎn)N（2，）；

（2）要使P到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小，根據(jù)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出，連接BC，交對(duì)稱軸于一點(diǎn)P，
此時(shí)P到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最小，
可知三角形PAC最小即為AC+BC，
∵AC==10，BC==2，
∴△PAC周長的最小值為：10，

（3）如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，
∵∠MCN=∠OCB，∠MNC=∠COB，
∴△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因?yàn)镸H∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MH•h，
=×（8-2t）×，
=10t-，
因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位，
則當(dāng)t=-=2時(shí)符合范圍0＜t＜4，
所以當(dāng)t=2時(shí)S最大為10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及利用三點(diǎn)求二次函數(shù)式、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用三角形面積求出S與t的關(guān)系是解題關(guān)鍵．