Question

【題目】點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊的邊AB、BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動的過程中，變化嗎：若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

連接PQ，

當(dāng)秒時(shí)，判斷的形狀，并說明理由；

當(dāng)時(shí)，則______秒直接寫出結(jié)果

Answer 1

【答案】（1）在P、Q運(yùn)動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；（2）①△BPQ是等邊三角形；②.

【解析】

（1）先證明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，根據(jù)∠BAQ+∠QAC=60°，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）①當(dāng)t=2秒時(shí)，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，可知△BPQ是等邊三角形；

②當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，∠B=60°，根據(jù)直角三角形30°所對直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)列等量關(guān)系，即可求出時(shí)間t.

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，

∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，

∴AP=BQ，

在△APC和△BQA中

，

∴△APC≌△BQA（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，

∴在P、Q運(yùn)動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；

故答案為：在P、Q運(yùn)動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°.

（2）①∵運(yùn)動時(shí)間為ts，則AP=BQ=t，

∴PB=4﹣t，

當(dāng)t=2秒時(shí)，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，∴AP=BQ=PB，

∴△BPQ是等邊三角形；

故答案為：△BPQ是等邊三角形.

②∵運(yùn)動時(shí)間為ts，則AP=BQ=t，∴PB=4﹣t，

∵PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，

∵∠B=60°，∴PB=2BQ，

∴4﹣t=2t，解得t=，

故答案為：t=.