Question

如圖，直線AB的函數(shù)解析式為y=x+2分別與x、y軸交于點A，點B，直線CD的函數(shù)解析為y=2x-1分別與x軸、y軸交于點C、點D，直線AB與CD相交于點P．
（1）求P點坐標；
（2）點M為x軸上一動點，當點M在什么位置時，△APM與△BDP的面積相等；
（3）若點N為線段CP上一動點，探究是否存在點N，使△ABN與△BDN的面相等？若存在，請求出點N坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解兩個解析式組成的方程組即可求得函數(shù)的交點坐標；
（2）根據(jù)△BPD的面積即可求得AM的長，則M的坐標即可求得；
（3）設點N的坐標為（n，2n-1），則△BDN的面積可以利用n表示，然后利用n表示出△ABN的面積，根據(jù)兩個三角形的面積相等，可以求得n的值，則N的坐標可以求得．

解答：解：（1）由題意可得

y=x+2 y=2x-1

，
解得

x=3 y=5

∴P點坐標是（3，5）
（2）由題意可知，點A（-2，0），B（0，2），D（0，-1），
∴BD=3，∴S△BPD=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴

1

2

×5•AM=

9

2

，
解得AM=

9

5

，
∴點M的坐標是(-

1

5

，0)或(-

19

5

，0)
（3）存在，設點N的坐標為（n，2n-1），則S△BDN=

1

2

×3×n=

3

2

n，
而S_△ABN=S_△AOB+S_△BON-S_△AON=2+n-（2n-1）=3-n
∴

3

2

n=3-n，
解得n=

6

5

，
∴存在點N(

6

5

，

7

5

)使△ABN和△BDN面積相等．

點評：本題考查了函數(shù)圖象交點的求法以及三角形的面積的計算，利用數(shù)形結(jié)合考慮問題是關鍵．