Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF，在此運(yùn)動變化過程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形．②△ABC的面積是四邊形CDFE面積的2倍．
③四邊形CDFE不可能是正方形．④CD+CE=

2

AF，其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：連接CF，求出CF=AF，∠A=∠FCE，證△ADF≌△CEF，推出DF=EF，∠AFD=∠CFE，求出△AFC面積等于四邊形CDFE面積，求出AC=

2

AF，即可得出答案．

解答：解：連接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
∴①正確；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC=

1

2

S_△ACB
即△ABC的面積是四邊形CDFE面積的2倍，
∴②正確．
當(dāng)D、E分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．
∴③錯(cuò)誤．
∵AC=BC，∠ACB=90°，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，
∴CF⊥AB，AF=CF=BF，∠A=45°，∠ACF=45°，
∴AF=CF，由勾股定理得：AC=

2

CF=

2

AF，
∵AC=AD+DC=CE+CD，
∴CD+CE=

2

AF，∴④正確；
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．