Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，其外角平分線AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列結(jié)論中正確的是
①DB=DC；
②AC+AB=2CM；
③AC﹣AB=2AM；
④S△ABD=S△ABC ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：過點(diǎn)D作DF⊥BE于F，∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分線AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此選項(xiàng)正確；
∵AD外角平分線，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC﹣AB=CM+AM﹣AB=CM+AM﹣CM+AF=CM+AM﹣CM+AM=2AM，故此選項(xiàng)正確；
∴③AC+AB=AM+MC+BF﹣FA=AM+MC+MC﹣AM=2CM，故此選項(xiàng)正確；
S△ABD和S△ABC的大小無(wú)法判斷，④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③．

由A、B、C、D四點(diǎn)共圓，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到圓周角相等，結(jié)合外角平分線可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；過點(diǎn)D作DF⊥BE，可以通過證明三角形全等，通過邊的關(guān)系可以得到②AC﹣AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正確的；S△ABD和S△ABC的大小無(wú)法判斷．