Question

已知A（2

3

，0），直線y=（2-

3

）x-2交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)B，直線l∥AB且交 y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A'，連接AA'，A'D．直線l從AB開(kāi)始，以1個(gè)單位每秒的速度沿y軸正方向向上平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求A'點(diǎn)的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）請(qǐng)猜想AB與AF長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線交直線y=（2-

3

）x-2于點(diǎn)E，以點(diǎn)C為圓心CE為半徑作⊙C，求當(dāng)t為何值時(shí)，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切？

Answer 1

分析：（1）由l∥AB得出∠ODC=∠OAB，再由點(diǎn)A（2

3

，0），求出∴∠ODC=∠OAB=30°由點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A'，求出A'點(diǎn)的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）通過(guò)點(diǎn)F的坐標(biāo)，得出AF，在Rt△OAB中，OA=2

3

，OB=2，求出AB，得AB=AF；
（3）先由直線l是點(diǎn)A和A'的對(duì)稱軸得直線l是∠A'DA的平分線，即得點(diǎn)C到直線AD和A'D的距離相等，當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，也一定與A'D相切，通過(guò)直角三角形求解．

解答：解：（1）∵l∥AB．
∴∠ODC=∠OAB，
∵A（2

3

，0）B（0，-2），
∴tan∠OAB=

3

3

，
∴∠ODC=∠OAB=30°．
∵BC=t，∴OC=2-t，
∴OD=

3

（2-t），
∴AD=

3

t．
∵點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A'，
∴A'D=AD=

3

t∠A'DA=60°，
∴△A'DA是正三角形．
過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥AD于H，
∴AH=

3

2

tA'H=

3

2

t，
∴A'點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

3

-

3

2

t，

3

2

t）．

（2）AB=AF．
說(shuō)明：∵F（4+2

3

，0），
∴AF=4，
在Rt△OAB中，OA=2

3

，OB=2，
∴AB=4，
∴AB=AF．

（3）∵直線l是點(diǎn)A和A'的對(duì)稱軸，
∴直線l是∠A'DA的平分線，
∴點(diǎn)C到直線AD和A'D的距離相等，
∴當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，也一定與A'D相切．
∵∠OAB=30°且AB=AF，
∴∠ABF=15°，
∴∠CBF=75°．
∵CE⊥AB∠OBA=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠CEB=75°，
∴CB=CE．
∵⊙C與AD相切，
∴OC=CE=CB，
∴t=1．
當(dāng)⊙C與AA'相切于點(diǎn)M時(shí)，CE=CB=CM，
∴CM=t，
∵CM=DM-CD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t-2，
∴CD=2t-4，
∴2t-4+t=

3

2

t，
∴t=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，較難，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)通過(guò)直角三角形、三角函數(shù)等知識(shí)求解．