Question

如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點B、點C，拋物線 經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為P，且拋物線的對稱軸為.

1.求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標(biāo)；

2.連接AC，則在x軸上是否存在一點Q，使得以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

1.在中,當(dāng)時,

∴點C坐標(biāo)為(0,3)

當(dāng)時,有

∴點B坐標(biāo)為          …1分

∴過B,

且對稱軸為

∴                                         …2分

解得:

∴拋物線的解根據(jù)析式為:                    …3分

由知:

頂點P的坐標(biāo)為:                                  …4分

2.在中,令,有:

∴

∴點A坐標(biāo)為

∴

在Rt△BOC中,OB=OC=3

∴∠ABC=45° 

令與軸交于點D.則D點坐標(biāo)為

∴在Rt△PBD中,PD=BD=1, ∠PBD=45°

PB=

假設(shè)在軸上存在點Q,使得△PBQ與△PBC相似

   ①若點Q在點B的右側(cè):

    (i)當(dāng),∠ABC=∠PBQ=45°時, △PBQ∽△CBA

 

此時,.

∴點Q的坐標(biāo)為:                                …6分

   (ii)當(dāng):,∠ABC=∠PBQ=45°, △PBQ∽△ABC

此時,有:,BQ=3

此時點Q與點O重合,坐標(biāo)為(0,0)                         …8分

   ②若點Q在點B的左側(cè)

則: ∠PBQ=180°-45°=135°

在Rt△AOC中,

∴∠OAC>45°      ∴∠BAC<135°

而∠BAC為△ABC的最大內(nèi)角.

此時△PBQ與△ABC不可能相似.                         …10分

綜上所述:能使△PBQ與△ABC相似的符合條件的點Q有兩種情況,坐標(biāo)分別為:和(0,0)

 解析:略