Question

（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
①求證：BE=DF；
②連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：
①畫(huà)線(xiàn)段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；
②線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為

2

5

，CD的長(zhǎng)為

5

，AD的長(zhǎng)為

5

；
③△ACD為

直角

三角形，四邊形ABCD的面積為

10

；
④若E為BC中點(diǎn)，求tan∠CAE的值．

Answer 1

分析：（1）①求簡(jiǎn)單的線(xiàn)段相等，可證線(xiàn)段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
②由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯(lián)立（1）的結(jié)論，可證得EC=CF，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相垂直平分，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．
（2）①利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出AD的位置；
②利用圖表中格線(xiàn)的長(zhǎng)度利用勾股定理求出即可；
③利用勾股定理的逆定理得出△ACD的形狀，再利用四邊形的特殊性直接得出答案；
④利用E點(diǎn)的位置得出tan∠CAE=tan∠CAN的值．

解答：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵

AD=AB AF=AE

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE=DF；

②解：四邊形AEMF是菱形，理由為：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角），BC=DC（正方形四條邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質(zhì)），即CE=CF，
在△COE和△COF中，

CE=CF ∠ACB=∠ACD OC=OC

，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．

（2）①如圖所示；
②線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為：AC=

42+22

=2

5

，CD的長(zhǎng)為：

12+22

=

5

，AD的長(zhǎng)為：

32+42

=5；
故答案為：2

5

，

5

，5；

③∵AC=2

5

，CD=

5

，AD=5；
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形，
∴四邊形ABCD的面積為：2S_△ACD=2

5

×

5

=10；
故答案為：直角，10；

④∵E為BC中點(diǎn)，
∴AE延長(zhǎng)線(xiàn)交MC中點(diǎn)于點(diǎn)N，
∴tan∠CAE=tan∠CAN=

2

4

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及菱形的判定以及勾股定理及逆定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．