Question

如圖，以Rt△ABO的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4，OB=3，一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個(gè)
單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)
沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止
運(yùn)動(dòng),設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2) 在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①．
求出此時(shí)△APQ的面積．
(3) 在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰梯
形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(4) 伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB－BO－OP于點(diǎn)F． 當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，請直接寫出t的值．

Answer 1

略

解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3
∴AB＝
①P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP＝AQ＝t，AP＝4－t
過Q作QH⊥AP于H點(diǎn)，由QH//BO得

∴
即     (0<t≤4)
②當(dāng)4<t≤5時(shí)，AP＝t－4  AQ=t
sin∠BAO=
OH=
∴
=··············(4分)
(2)由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ
∠AQP＝900  ∴cosA=
當(dāng)0<t≤4  ∴   即
當(dāng)4<t≤5時(shí)，   t=－16(舍去)
∴···············(6分)
(3)存在，有以下兩種情況
①若PE//BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過E、P分分別作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N
則有BM=QN,由PE//BQ得
∴
又∵AP=4－t, ∴AN=
∴由BM=QN,得
∴　　　∴···································(8分)
②若PQ//BE，則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)
由題意知
∵OP+AP="OA " ∴
∴t··············(10分)
由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為
(4)①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t
可得∠QOA=∠QAO  ∴∠QOB=∠QBO
∴OQ="BQ=t       " ∴BQ=AQ=AE
∴······················(11分)
②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8－t
BQ=5－t, 
在Rt△OGQ中，OQ2 =" RG2" + OG2
即(8－t)2 =
∴t = 5·························(12分)