Question

21、已知：如圖，O為?ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l與?ABCD的一組對邊分別相交于點(diǎn)E、F，且OE=OF．
（1）試證明：點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
（2）若直線l繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與?ABCD的一組對邊（或它們的延長線）分別相交于點(diǎn)E′、F′，那么OE′=OF′是否恒成立？若成立，請畫出一種情形的圖形予以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，從而結(jié)合題意利用ASA可證明△EOD≌△FOB，繼而可證得結(jié)論．
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中始終有∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，結(jié)合（1）的結(jié)論即可證明△E'OD≌△F'OB，這樣即可作出判斷．

解答：解：∵ABCD是平行四邊形，
∴∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，
又∵OE=OF，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OB=OD，即點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
（2）OE′=OF′恒成立．
證明：旋轉(zhuǎn)后如圖所示：

∵ABCD是平行四邊形，
∴∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，
由（1）得OB=OD，
∴△E'OD≌△F'OB（ASA）．
∴OE′=OF′恒成立．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對邊平行的性質(zhì)得出∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，然后結(jié)合題意即可作出判斷．