Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=mx2－2mx +m－4 (m≠0)的頂點為A,與x軸交于B,C兩點(B在點C左側(cè))，與y軸交于點D.

(1)求點A的坐標;

(2)若BC=4,

①求拋物線的解析式;

②將拋物線在C,D之間的部分記為圖象G (包含C,D兩點) . 若過點A的直線y= kx+ b(k≠0)與圖象G有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(1,－4)；（2）①y= x2－2x－3；②-1≤k<0或0<k≤2

【解析】

（1）把一般式配成頂點式，即可得到A點坐標；

（2）根據(jù)對稱軸，先求出點B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

②先求出點D（0，-3），畫出拋物線，通過畫圖可得當k＞0時，直線y=kx+b過A、C時，k最大；當k＜0，直線y=kx+b過A、D時，k最大，然后分別求出兩直線解析式，即可得到k的范圍．

解：（1）y=mx2－2mx +m－4

=m(x2－2x+1)－4

=m(x－1)2－4.

∴點A的坐標為(1，－4) .；

（2）①由(1)得，拋物線的對稱軸為：x= 1.

∵拋物線與x軸交于B，C兩點(點B在點C左側(cè))，BC=4，

∴點B的坐標為(－1,0)，點C的坐標為(3，0) .

∴m+ 2m +m－4=0

∴m=1.

∴拋物線的解析式為：y= x2－2x－3；

②由①可得點D的坐標為：(0，－3).

當直線過點A， D時，解得：k=－1.

當直線過點A， C時，解得：k=2.

結(jié)合函數(shù)的圖象可知，k的取值范圍為：－1≤k<0或0<k≤2.