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        1. 【題目】如圖①,在ABCD中,AB=10cm,BC=4cm,BCD=120°,CE平分∠BCDAB于點(diǎn)E.點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),連接CP,將PCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使CECB重合,得到QCB,連接PQ.

          (1)求證:PCQ是等邊三角形;

          (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí),PBQ的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求

          PBQ周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;

          (3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形?

          若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

          (1) (2)

          (3)

          【答案】(1)證明見解析;(2)存在,理由見解析;(3)t2s或者14s.

          【解析】分析(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明△PCE≌△QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可

          (2)利用平行四邊形的性質(zhì)證得△BCE為等邊三角形,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△PBQ的周長(zhǎng)為4+CP,然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可;

          (3)根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)的距離,分類討論求解即可.

          詳解:(1)∵旋轉(zhuǎn)

          ∴△PCE≌△QCB

          ∴CP=CQ,∠PCE =∠QCB,

          ∵∠BCD=120°,CE平分∠BCD,

          ∴∠PCQ=60°,

          ∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°,

          ∴△PCQ為等邊三角形.

          (2)存在

          ∵CE平分∠BCD,

          ∴∠BCE=,

          ∵在平行四邊形ABCD 中,

          ∴AB∥CD

          ∴∠ABC=180°﹣120°=60°

          ∴△BCE為等邊三角形

          ∴BE=CB=4

          ∵旋轉(zhuǎn)

          ∴△PCE≌△QCB

          ∴EP=BQ,

          ∴C△PBQ=PB+BQ+PQ

          =PB+EP+PQ

          =BE+PQ

          =4+CP

          ∴CP⊥AB時(shí),△PBQ周長(zhǎng)最小

          當(dāng)CP⊥AB時(shí),CP=BCsin60°=

          ∴△PBQ周長(zhǎng)最小為4+

          (3)①當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí),P,B,Q不能構(gòu)成三角形

          ②當(dāng)0≤t<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,

          ∠CPE=∠CQB,

          ∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°

          則:∠BPQ+∠CQB=60°,

          又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°

          ∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°

          ∴∠QBP=60°,∠BPQ<60°,

          所以∠PQB可能為直角

          由(1)知,△PCQ為等邊三角形,

          ∴∠PBQ=60°,∠CQB=30°

          ∵∠CQB=∠CPB

          ∴∠CPB=30°

          ∵∠CEB=60°,

          ∴∠ACP=∠APC=30°

          ∴PA=CA=4,

          所以AP=AE-EP=6-4=2

          所以t=2s

          ③當(dāng)6<t<10時(shí),由∠PBQ=120°>90°,所以不存在

          ④當(dāng)t>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)得:∠PBQ=60°,由(1)得∠CPQ=60°

          ∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC,

          而∠BPC>0°,

          ∴∠BPQ>60°

          ∴∠BPQ=90°,從而∠BCP=30°,

          ∴BP=BC=4

          所以AP=14cm

          所以t=14s

          綜上所述:t2s或者14s時(shí),符合題意。

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CDAB,垂足為H,連結(jié)AC,過上一點(diǎn)EEGACCD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)AECD于點(diǎn)F,且EG=FG,連結(jié)CE.

          (1)求證:ECF∽△GCE;

          (2)求證:EG是⊙O的切線;

          (3)延長(zhǎng)ABGE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,若tanG=,AH=3,求EM的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為CD上一點(diǎn),將△BCE沿BE翻折后點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處,將線段EF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在BE上的點(diǎn)G處,連接CG.

          (1)證明:四邊形CEFG是菱形;

          (2)若AB=8,BC=10,求四邊形CEFG的面積;

          (3)試探究當(dāng)線段AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),BG=CG,請(qǐng)寫出你的探究過程.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某商場(chǎng)服裝部為了調(diào)動(dòng)營(yíng)業(yè)員的積極性,決定實(shí)行目標(biāo)管理,根據(jù)目標(biāo)完成的情況對(duì)營(yíng)業(yè)員進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)脑落N售目標(biāo),商場(chǎng)服裝部統(tǒng)計(jì)了每位營(yíng)業(yè)員在某月的銷售額(單位:萬元),數(shù)據(jù)如下:

          17

          18

          16

          13

          24

          15

          28

          26

          18

          19

          22

          17

          16

          19

          32

          30

          16

          14

          15

          26

          15

          32

          23

          17

          15

          15

          28

          28

          16

          19

          對(duì)這30個(gè)數(shù)據(jù)按組距3進(jìn)行分組,并整理、描述和分析如下.

          頻數(shù)分布表

          組別

          銷售額

          頻數(shù)

          7

          9

          3

          2

          2

          數(shù)據(jù)分析表

          平均數(shù)

          眾數(shù)

          中位數(shù)

          20.3

          18

          請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:

          (1)填空:a=  ,b=  ,c=  

          (2)若將月銷售額不低于25萬元確定為銷售目標(biāo),則有  位營(yíng)業(yè)員獲得獎(jiǎng)勵(lì);

          (3)若想讓一半左右的營(yíng)業(yè)員都能達(dá)到銷售目標(biāo),你認(rèn)為月銷售額定為多少合適?說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】計(jì)算與化簡(jiǎn)

          1)計(jì)算:(6m2+4m3+22m24m+1);

          2)先化簡(jiǎn),再求值.4xy[x2+5xyy2)﹣2x2+3xyy2],其中:x=﹣1y2

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)的四角都設(shè)計(jì)一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇,若圓形的半徑為r米,廣場(chǎng)的長(zhǎng)為a米,寬為b米.

          (1)請(qǐng)列式表示操場(chǎng)空地的面積;

          (2)若休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為 50米,寬為20米,圓形花壇的半徑為 3米,求操場(chǎng)空地的面積.(π取 3.14,計(jì)算結(jié)果保留 0.1)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C,∠ABC90°,OC平分OAx軸正半軸的夾角,ABx軸,將ABC沿AC翻折后得到AB'C,B'點(diǎn)落在OA上,則四邊形OABC的面積是_____

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】下面是小東設(shè)計(jì)的“作平行四邊形,使,,”的作圖過程.

          作法:如圖,①作

          ②在的兩邊上分別截取,

          ③以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑畫弧,以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)

          ④連接,

          則四邊形為所求作的平行四邊形.

          根據(jù)小東設(shè)計(jì)的作圖過程:

          1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

          2)完成下面的證明.

          證明: ______,______,

          四邊形是平行四邊形.(______)(填推理的依據(jù)).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】小明想利用太陽光測(cè)量樓高,他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對(duì)面墻上有這棟樓的影子,針對(duì)這種情況,他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案,具體測(cè)量情況如下:如示意圖,小明邊移動(dòng)邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí),可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時(shí),測(cè)得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(點(diǎn)A、E、C在同一直線上).已知小明的身高EF是1.7m,請(qǐng)你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到0.1m).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案