Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，且點(diǎn)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

（1） ∵拋物線 經(jīng)過A（-1，0），B（-3，0），
   ∴   解得：
   ∴拋物線的解析式為
（2） 由． 可得D（-2，1），C（0，-3）
    ．
   可得是等腰直角三角形．
    ∴=45^。，
 如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)F，．
  過點(diǎn)A作 于點(diǎn)E．
    ∴=90^。
  可得，．
  在AEC與AFP中，=90^。，，
    ∴．
   ∴，
  解得PF=2．
  點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）或（-2，-2）．
（3）設(shè)直線BC的解析式，直線BC經(jīng)過B（-3，0），C（0，-3），
   ∴
   解得：k=-1，b=-3， ∴直線BC的解析式
  設(shè)點(diǎn)Q（m，n），過點(diǎn)Q作QH⊥BC于H，并過點(diǎn)Q作 QS∥y軸交直線BC于點(diǎn)S，
   則S點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-3） ∴QS=n-（-m-3）=n+m+3
   ∵點(diǎn)Q（m，n）在拋物線y=-x²-4x-3上，
   ∴n=-m²-4m-3
   ∴QS=-m²-4m-3+m+3
           =-m²-3m
           =
   當(dāng)m= 時(shí)，QS有最大值
   ∵BO=OC，∠BOC=90°，
    ∴∠OCB=45°
   ∵QS∥y軸， ∴∠QSH=45°
   ∴△QHS是等腰直角三角形
   ∴當(dāng)斜邊QS最大時(shí)QH最大. 
   ∵當(dāng)m= 時(shí)，QS最大， ∴此時(shí)n=-m²-4m-3=-+6-3=
    ∴Q（，）
   ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）時(shí)，點(diǎn)Q到直線BC的距離最遠(yuǎn)。