Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A、B與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1+，3），（1﹣，3）或（2，﹣3）

【解析】

（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣4)，可以求得a、b的值，從而可以得到該函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)(1)中求得的函數(shù)解析式可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)S△MAB＝S△CAB，即可得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的絕對值等于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的絕對值，從而可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣4)，

∴，得，

∴該函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）該二次函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M，使S△MAB＝S△CAB，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣3)(x+1)，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3或x＝﹣1，

∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A、B與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3)，

∵S△MAB＝S△CAB，點(diǎn)M在拋物線上，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是3或﹣3，

當(dāng)y＝3時(shí)，3＝x2﹣2x﹣3，得x1＝1+，x2＝1﹣；

當(dāng)y＝﹣3時(shí)，﹣3＝x2﹣2x﹣3，得x3＝0或x4＝2；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3)．

故答案為：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3).