Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒

5

4

個(gè)單位的速度沿AB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．
（1）連接PQ，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ與△ABC是否始終相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）連接PC，設(shè)△PCQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接PC、BQ，是否存在t的值，使PC⊥BQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）探索：把△PQB沿直線PQ折疊成△PQB′，設(shè)QB′與AB交于點(diǎn)E，當(dāng)△BEQ是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）已知AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)

PA

AB

=

AQ

BC

=

t

4

，進(jìn)而即可求得△APQ∽△ABC；
（2）根據(jù)△APQ∽△ABC即可求得

PQ

BC

=

AQ

AC

，即可求得S關(guān)于t的方程式；
（3）先求證△PCQ∽△QBC進(jìn)而可以得

PQ

CQ

=

CQ

BC

即

3 4 t

4-t

=

4-t

3

，求得t的值即可解題．
（4）分別用t表示PE、EQ、BQ的值，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，即可解題．

解答：解：（1）相似
∵∠ACB=90°
∴AB=

AC2+BC2

=5
∵PA=

5

4

t，AQ=t
∴

PA

AB

=

AQ

BC

=

t

4

∵∠A=∠A
∴△APQ∽△ABC

（2）∵△APQ∽△ABC
∴∠PQA=∠C=90°
∵

PQ

BC

=

AQ

AC

∴

PQ

3

=

t

4

∴PQ=

3

4

t
∵CQ=4-t
∴S=

1

2

•

3

4

t•(4-t)=-

3

8

t2+

3

2

t

（3）存在
∵PC⊥BQ
∴∠PCQ+∠BQC=90°
∵∠CBQ+∠BQC=90°
∴∠PCQ=∠CBQ
∵∠PQC=∠BCQ=90°
∴△PCQ∽△QBC
∴

PQ

CQ

=

CQ

BC

∴

3 4 t

4-t

=

4-t

3

∴t 1=

41+3 73

8

（舍去）t 2=

41-3 73

8

∴存在t的值為

41-3 73

8

，使PC⊥BQ．

（4）t₁=1，t2=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的證明，本題中求△PCQ∽△QBC是解題的關(guān)鍵．