Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（1,0），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（2）A、B是軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過(guò)A作AD⊥軸交拋物線于D，

過(guò)B作BC⊥軸交拋物線于C. 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0），四邊形ABCD的面積為S.

① 求S與之間的函數(shù)關(guān)系式.

② 求四邊形ABCD的最小面積，此時(shí)四邊形ABCD是什么四邊形？

③ 當(dāng)四邊形ABCD面積最小時(shí)，在對(duì)角線BD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAE的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時(shí)△PAE的周長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②四邊形ABCD是正方形③2+

【解析】試題分析：（1）先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，然后把點(diǎn)（0，1）代入拋物線，可以求出拋物線的解析式．（2）①因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），AB=4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+4，0），分別把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得到C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到線段AD和BC的長(zhǎng)，可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面積．②根據(jù)①得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求出面積最小時(shí)t的值，并確定此時(shí)四邊形的形狀．③當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí)，ABCD是正方形，點(diǎn)A點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到CE與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，然后求出△PAE的周長(zhǎng)．

試題解析： （1）∵ 拋物線頂點(diǎn)為F（1,0）

∴

∵ 該拋線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0,1）

∴

∴

∴ ，

即所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.

（2）① ∵ A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0）, AB=4，且點(diǎn)C、D在拋物線上，

∴ B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2).

∴

② .

∴ 當(dāng)=-1時(shí)，四邊形ABCD的最小面積為16，

此時(shí)AD=BC=AB=DC=4，四邊形ABCD是正方形.

③ 當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí)，四邊形ABCD是正方形，其對(duì)角線BD上存在點(diǎn)P, 使得ΔPAE的周長(zhǎng)最小.

∵AE=4（定值），

∴要使ΔPAE的周長(zhǎng)最小，只需PA+PE最小.

∵此時(shí)四邊形BCD是正方形，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD所在直線對(duì)稱,

∴由幾何知識(shí)可知，P是直線CE與正方形ABCD對(duì)角線BD的交點(diǎn).

∵點(diǎn)E、B、C、D的坐標(biāo)分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）

∴直線BD，EC的函數(shù)關(guān)系式分別為：y=-x+3, y=2x-2.

∴ P(,)

在Rt△CEB中，CE=,

∴△PAE的最小周長(zhǎng)=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+