Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-3，若x₁，x₂是關(guān)于方程x²+（m+1）x+m²-12=0（其中m＜0）的兩個(gè)根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于四邊形ACBM的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，聯(lián)立x₁²+x₂²=10，可求出m的值，進(jìn)而可求出A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的解析式，即可求出其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)得出的A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規(guī)則，因此其面積可用分割法進(jìn)行求解）．然后根據(jù)ACMB的面求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²+（m+1）x+m²-12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由題意得：x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），x₁x₂=

c

a

=m²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m²-12）=10，
化簡(jiǎn)，得-m²+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可寫(xiě)成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-3）（x+1）=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

；

（3）S_{四邊形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM
=

1

2

OA•OC+

1

2

（OC+MN）•ON+

1

2

NB•MN
=

1

2

×1×

9

4

+

1

2

×（

9

4

+3）×1+

1

2

×2×3
=

27

4

．
假設(shè)存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四邊形ACMB}=

27

2

，
即：

1

2

AB|y₀|=

27

2

，

1

2

×4×|y₀|=

27

2

，
∴y₀=±

27

4

；
當(dāng)y₀=

27

4

時(shí)，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=

27

4

，解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

；
當(dāng)y₀=-

27

4

時(shí)，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=-

27

4

，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
∴存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1-

13

，

27

4

），（1+

13

，

27

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．