Question

（2011•石家莊二模）閱讀材料：
我們將能完全覆蓋平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．
例如：線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓．
操作探究：
（1）如圖1：已知線段AB與其外一點(diǎn)C，作過(guò)A、B、C三點(diǎn)的最小覆蓋圓；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）邊長(zhǎng)為1cm的正方形的最小覆蓋圓的半徑是

2

2

cm；
如圖2，邊長(zhǎng)為1cm的兩個(gè)正方形并列在一起，則其最小覆蓋圓的半徑是

5

2

cm；
如圖3，半徑為1cm的兩個(gè)圓外切，則其最小覆蓋圓的半徑是

2

cm．
聯(lián)想拓展：
⊙O₁的半徑為8，⊙O₂，⊙O₃的半徑均為5．
（1）當(dāng)⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切時(shí)（如圖4），則其最小覆蓋圓的半徑是

40

3

；
（2）當(dāng)⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩相切時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，則其最小覆蓋圓的半徑是

13

，并作出示意圖．

Answer 1

分析：（1）連接AC作AC的垂直平分線EF，作AB 的垂直平分線MN交EF于點(diǎn)P，連接AP，以點(diǎn)P為圓心，以AP為半徑作圓．所以圓P是所求作的圓．
（2）邊長(zhǎng)為1的正方形的最小覆蓋圓，就是以以正方形的對(duì)角線為直徑的圓，從而求出答案；而兩個(gè)正方形組合而成的矩形的最小覆蓋圓就是以矩形的對(duì)角線為直徑的圓；半徑為1的兩個(gè)外切圓的最小覆蓋圓就是以兩圓的半徑和為半徑的圓．
聯(lián)想拓展
（1）易知最小覆蓋圓的圓心在O₁O₂中垂線上，可得方程R=8+x=5+

(12-x)2+25

，求解即可；
（2）當(dāng)⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切，⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂外切時(shí)，（1）結(jié)論不成立，則最小覆蓋圓的半徑是大圓的半徑加小圓的半徑．從而求出結(jié)果．

解答：操作探究：
解：（1）作圖為：
（2）①∵正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理，得
正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：

2

，
∴最小覆蓋圓的半徑是

2

2

；
②）∵矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，由勾股定理，得
矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為：

5

，
∴最小覆蓋圓的半徑是

5

2

；
③∵兩個(gè)半徑為1的圓外切，
∴最小覆蓋圓的半徑是2．
聯(lián)想拓展：
解：（1）如圖，O₁O₂=r₁+r₂=5+8=13=O₁O₃，
易知最小覆蓋圓的圓心在O₁O₂中垂線上，設(shè)為O．
設(shè)O₁O=x，則可以得到方程
R=8+x=5+

(12-x)2+25

解之得x=

16

3

所以R=8+x=

40

3

；
（2）由題意得示意圖為：
∴最小覆蓋圓的半徑是大圓半徑和小圓半徑的和．
∴最小覆蓋圓的半徑是13．
故答案為：

2

2

，

5

2

，2，

40

3

，13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩圓相切的性質(zhì)，三角形的外接圓與圓心，正多邊形和圓的關(guān)系及中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．