Question

【題目】數(shù)學概念

若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.

理解概念

（1）若點是的等角點，且，則的度數(shù)是 .

（2）已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當的邊滿足下面的條件時，求證：是的等角點.（要求：只選擇其中一道題進行證明�。�

①如圖①，

②如圖②，

深入思考

（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：

①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；

②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；

③正三角形的中心是它的強等角點；

④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；

⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有 .（填序號）

Answer 1

【答案】（1）100、130或160；（2）選擇①或②，理由見解析；（3）見解析；（4）③⑤

【解析】

（1）根據(jù)“等角點”的定義，分類討論即可；

（2）①根據(jù)在同圓中，弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等即可證明；

②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等作圖即可；

（4）根據(jù)“等角點”和“強等角點”的定義，逐一分析判斷即可．

（1）（i）若=時，

∴==100°

（ii）若時，

∴（360°－）=130°；

（iii）若=時，

360°－－=160°，

綜上所述：=100°、130°或160°

故答案為：100、130或160．

（2）選擇①：

連接

∵

∴

∴

∵，

∴

∴是的等角點．

選擇②

連接

∵

∴

∴

∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，

∴

∵

∴

∴是的等角點

（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點D，連接BD，

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC

∴△BCD為等邊三角形

∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°

作CD的垂直平分線交MN于點O

以O為圓心OB為半徑作圓，交AD于點Q，圓O即為△BCD的外接圓

∴∠BQC=180°－∠BDC=120°

∵BD=CD

∴∠BQD=∠CQD

∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°

∴∠BQA=∠CQA=∠BQC

如圖③，點即為所求．

（4）③⑤．

①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心

假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°

∵點O是△ABC的內(nèi)心

∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°

∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°

顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯誤；

②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點的定義，故②錯誤；

③正三角形的每個中心角都為：360°÷3=120°，滿足強等角點的定義，所以正三角形的中心是它的強等角點，故③正確；

④由（3）可知，點Q為△ABC的強等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠QC，故④錯誤；

⑤由（3）可知，當的三個內(nèi)角都小于時，必存在強等角點．

如圖④，在三個內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點，連接、、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，

∵由旋轉(zhuǎn)得，，

∴是等邊三角形．

∴

∴

∵、是定點，

∴當、、、四點共線時，最小，即最�。�

而當為的強等角點時，，

此時便能保證、、、四點共線，進而使最�。�

故答案為：③⑤．