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          (2010•成都)已知:在菱形ABCD中,O是對角線BD上的一動點.
          (1)如圖甲,P為線段BC上一點,連接PO并延長交AD于點Q,當O是BD的中點時,求證:OP=OQ;
          (2)如圖乙,連接AO并延長,與DC交于點R,與BC的延長線交于點S.若AD=4,∠DCB=60°,BS=10,求AS和OR的長.

          【答案】分析:(1)求簡單的線段相等,可證線段所在的三角形全等,即證△ODQ≌△OBP.
          (2)首先求AS的長,要通過構建直角三角形求解;過A作BC的垂線,設垂足為T,在Rt△ABT中,易證得∠ABT=∠DCB=60°,又已知了斜邊AB的長,通過解直角三角形可求出AT、BT的長;進而可在Rt△ATS中,由勾股定理求出斜邊AS的值;由于四邊形ABCD是菱形,則AD∥BC,易證得△ADO∽△SBO,已知了AD、BS的長,根據相似三角形的對應邊成比例線段可得出OA、OS的比例關系式,即可求出OA、OS的長;同理,可通過相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值;由OR=OS-RS即可求出OR的長.
          解答:(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,
          ∴AD∥BC.
          ∴∠OBP=∠ODQ
          ∵O是BD的中點,
          ∴OB=OD
          在△BOP和△DOQ中,
          ∵∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ
          ∴△BOP≌△DOQ(ASA)
          ∴OP=OQ.

          (2)解:如圖,過A作AT⊥BC,與CB的延長線交于T.
          ∵ABCD是菱形,∠DCB=60°
          ∴AB=AD=4,∠ABT=60°
          ∴在Rt△ATB中,AT=ABsin60°=
          TB=ABcos60°=2
          ∵BS=10,
          ∴TS=TB+BS=12,
          在Rt△ATS中,
          ∴AS=
          ∵AD∥BS,
          ∴△AOD∽△SOB.
          ,
          ,

          ∵AS=,
          ∴OS=AS=
          同理可得△ARD∽△SRC.

          ,
          ,

          ∴OR=OS-RS=.(12分)
          點評:此題考查了菱形的性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質;(2)中能夠正確的構建出直角三角形,求出AS的長是解答此題的關鍵.
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