Question

20．如圖，點A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于點B，tanD=3，BC=2，H為CE延長線上一點，且AH=$\sqrt{10}$，CH=5$\sqrt{2}$．
（1）求證：AH是⊙O的切線；
（2）若點D是弧CE的中點，且AD交CE于點F，求證：HF=HA；
（3）在（2）的條件下，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC．由AB⊥BC可知AC是圓O的直徑，由同弧所對的圓周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=40，從而可得到AC²+AH²=CH²，由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圓O的切線；
（2）連接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是$\widehat{CE}$的中點，可證明∠CED=∠EBD，由同弧所對的圓周角相等可知∠ABE=∠ADE，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可證明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；
（3）由切割線定理可求得EH=$\sqrt{2}$，由（2）可知AF=FH=$\sqrt{10}$，從而得到EF=FH-EH=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如圖1所示：連接AC．

∵AB⊥CB，
∴AC是圓O的直徑．
∵∠C=∠D，
∴tanC=3．
∴AB=3BC=3×2=6．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=40．
又∵AH²=10，CH²=50，
∴AC²+AH²=CH²．
∴△ACH為直角三角形．
∴AC⊥AH．
∴AH是圓O的切線．
（2）如圖2所示：連接DE、BE．

∵AH是圓O的切線，
∴∠ABD=∠HAD．
∵D是$\widehat{CE}$的中點，
∴$\widehat{CD}=\widehat{ED}$．
∴∠CED=∠EBD．
又∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．
∴∠ABD=∠AFE．
∴∠HAF=∠AFH．
∴AH=HF．
（3）由切割線定理可知：AH²=EH•CH，即（$\sqrt{10}$）²=5$\sqrt{2}$EH．
解得：EH=$\sqrt{2}$．
∵由（2）可知AF=FH=$\sqrt{10}$．
∴EF=FH-EH=$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的判定定理、弦切角定理、切割線定理、圓周角定理以及勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的外角的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．