Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的頂點D在BC上運動，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F為線段DE的中點，連接CF，在點D運動過程中，線段CF長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接CE，利用相似進行轉(zhuǎn)化先得出∠DCE=90°，F是DE的中點，可得CF=DE，再根據(jù)當AD⊥BC時，AD最短，此時DE最短，根據(jù)直角三角形的面積以及相似三角形的性質(zhì)，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．

解：連接CE，如圖所示：

BC＝＝＝5，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，∠ACD＝∠AEG，

∵∠AGE＝∠DGC，

∴△AGE∽△DGC，

∴＝，

∵∠AGD＝∠EGC，

∴△AGD∽△EGC，

∴∠ADG＝∠ECG，

∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，

∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，

∵F是DE的中點，

∴CF＝DE，

∵△ABC∽△ADE，

∴當AD⊥BC時，AD最短，此時DE最短，

當AD⊥BC時，△ABC的面積＝ADBC＝ABAC，

∴AD＝＝＝，

∵＝，即＝，

解得：DE＝4，

∴CF＝×4＝2，

故答案為：2．