Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，6），點(diǎn)C、A在坐標(biāo)軸上．⊙A、⊙P的半徑均為1，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CO上以1單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O處停止．與此同時(shí)，⊙A的半徑每秒鐘增大2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙A的半徑也停止變化．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）在0＜t＜12時(shí)，設(shè)△OAP的面積為s，試求s與t的函數(shù)關(guān)系式．并求出當(dāng)t為何值時(shí)，s為矩形ABCO面積的

1

3

；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，⊙A與⊙P相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的面積公式得S=

1

2

OA×OP=

1

2

×6×（12-t）=-3t+36．又s=

1

3

S_矩形ABCO=

1

3

×12×6可求出t的值．
（2）若兩圓相切，則有在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²．將OA=6，PO=12-t，AP=2t+1+1=1t+2代入，求出t．若有實(shí)解則相切，沒(méi)有實(shí)解則不相切．

解答：解：（1）∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，6），
∴OA=6，OC=12，
∴OP=12-t；
當(dāng)0＜t＜12時(shí)，s=

1

2

OA×OP=

1

2

×6×（12-t）=-3t+36，
∵s=

1

3

S_矩形ABCO，
∴-3t+36=

1

3

×12×6，
解得：t=4，
即當(dāng)t=4時(shí)，S為矩形ABCO面積的

1

3

．

（2）如圖，當(dāng)⊙A與⊙P外切時(shí)

OP=12-t，AP=1+2t+1=2t+2；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t+2）²，
解得：t1=-

44

3

（不合題意，舍去），t₂=4；
此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
如圖，當(dāng)⊙A與⊙P內(nèi)切時(shí)，

OP=12-t，AP=1+2t-1=2t；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t）²，
解得：t1=2

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-4，t₂=-2

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-4（不合題意，舍去），
此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（16-2

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，0）．

點(diǎn)評(píng)：考查面積公式和圓相切的性質(zhì)．