Question

在平面直角坐標系中，A、B為反比例函數的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為，B點的對應點為．

（1）求旋轉后的圖象解析式；
（2）求、點的坐標；
（3）連結．動點從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）旋轉后的圖象解析式為． 
（2）由旋轉可得（4，-1）、（1，-4）． 
（3）依題意，可知．若為直角三角形，則同時也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值．
分兩種情況討論：
① 當是直角，時，如圖1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，
∴B′M=8-t，
∵，
∴．
解得 （舍去負值），
∴． 
②當是直角，時，
如圖2，
∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，
∴B′M=MN=8-t，
∵，
∴，
解得 ．
∵，，
∴此時t值不存在． 
（此類情況不計算，通過畫圖說明t值不存在也可以）
綜上所述，當時，為等腰直角三角形．

（1）首先把x=1代入反比例函數y=（x＞0）的解析式，求出對應的y值，得到A點坐標，然后由旋轉的性質得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′，易證△OAM≌△OA′N，得到A′的坐標，從而求出旋轉后的圖象解析式；
（2）上問已經求出A′的坐標，同樣求出點B′的坐標；
（3）首先運用待定系數法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那么分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結果．