Question

【題目】對于任意一個四位數(shù)．如果把它的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字調(diào)換，則稱得到的數(shù)為的調(diào)換數(shù)，把與其調(diào)換數(shù)之差記為，例如的調(diào)換數(shù)為，．

（1）求證：對于任意一個四位數(shù)，都能被整除．

（2）我們把與的商記為，例如，若有兩數(shù)、，其中， ，，、都是正整數(shù))，那么當時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60

【解析】

(1)設(shè)任意一個四位數(shù)的千位、百位、十位、個位數(shù)字分別為、、、，分別表示出這個四位數(shù)與其調(diào)換數(shù)，將這兩個數(shù)作差化簡即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題目意思分別表示出和，將和代入得出，再表示出，結(jié)合題目條件即可得出結(jié)果．

(1)證明：設(shè)任意一個四位數(shù)的千位、百位、十位、個位數(shù)字分別為、、、，則

、、、為自然數(shù)，

為自然數(shù)，

能被整除；

(2)解：由題意可得：

，

，

，開口向下，且對稱軸為

又，且為正整數(shù)，

當時，取得最大值．