Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，∠BQC=

150°

．（請(qǐng)直接寫出∠BQC的度數(shù)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“SAS”證明△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）連接PQ．證明△PBQ為等邊三角形，得∠PQB=60°；根據(jù)三邊長度可證△PQC為直角三角形，得∠PQC=90°．

解答：解：（1）AP=CQ，理由如下：…（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°．
∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

∴△ABP≌△CBQ，（SAS）
∴AP=CQ．…（5分）

（2）連接PQ．
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴∠PQB=60°，PQ=PB=4．
又∵CQ=PA=3，PC=5，且5²=3²+4²，即PC²=PQ²+CQ²，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．
∴∠BQC=60°+90°=150°．
故答案是 150°．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的判定，難度中等．