Question

【題目】一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．

（1）求證：△AEF∽△ABC；
（2）求這個正方形零件的邊長；
（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形EGFH為矩形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）

解：設正方形零件的邊長為amm

在正方形EFGH中，EF∥BC，EG∥AD

∴△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD

∴，，

∴，

即：

解得：a=48

即：正方形零件的邊長為48mm；

（3）

設長方形的長為x，寬為y，

當長方形的長在BC時，

由1知：=1，

∵，

∴當，即x=60，y=40，xy最大為2400

當長方形的寬在BC時，，

∵，

∴當，即x=40，y=60，xy最大為2400，

又∵x≥y，所以長方形的寬在BC時，面積＜2400

綜上，長方形的面積最大為2400mm2．

【解析】（1）根據矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．
（2）根據正方形邊的平行關系，得出對應的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，從而得出邊長之比 ， ，得到，進而求出正方形的邊長；
（3）分別討論長方形的長和寬在BC上的情況，再根據相應得關系式得出所求．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．