Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對稱軸l為x=﹣1．

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若動點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點(diǎn)N在對稱軸l上．
①當(dāng)PA⊥NA，且PA=NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其對稱軸l為x=﹣1，

∴，

解得：．

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）

解：令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)P在y=﹣x2﹣2x+3上，

∴設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA=NA，

∴△PAD≌△ANQ，

∴AQ=PD，

即y=﹣x2﹣2x+3=2，

解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，

∴點(diǎn)P（﹣﹣1，2）；

②設(shè)P（x，y），則y=﹣x2﹣2x+3，

由于P在第二象限，所以其橫坐標(biāo)滿足：﹣3＜x＜0，

∵S四邊形PABC=S△OBC+S△APO+S△OPC，

S△OBC=OBOC=×3×1=，

S△APO=AO|y|=×3y=y=（﹣x2﹣2x+3）=﹣x2﹣3x+，

S△OPC=CO|x|=×3（﹣x）=﹣x，

∴S四邊形PABC=﹣x2﹣3x+﹣x=6﹣x﹣x2=﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x=﹣時(shí)，S四邊形PABC最大值=，此時(shí)y=﹣x2﹣2x+3=，

所以P（﹣，）．

【解析】（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式即可；
（2）①首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件得到PE=OA，從而得到方程求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②用分割法將四邊形的面積S四邊形BCPA=S△OBC+S△OAC ， 得到二次函數(shù)，求得最值即可．
此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)待定系數(shù)法求解析式，分割法求圖形面積，二次函數(shù)的最值求法.