Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，8），點(diǎn)B（6，8 ）．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，求作一個(gè)點(diǎn)P，使點(diǎn)P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）：
①點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等；②點(diǎn)P到∠xOy的兩邊的距離相等．
（2）在（1）作出點(diǎn)P后，在x軸的正半軸上求一點(diǎn)M，使△POM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，即作AB的垂直平分線，點(diǎn)P到∠xOy的兩邊的距離相等，即作角的平分線，兩線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以O(shè)為圓心，OP為半徑，圓與x軸的正半軸交點(diǎn)M，就是所求作的點(diǎn)．

解答：解：（1）作圖如圖，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)；

（2）若OP=OM，
作圖如圖，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)．
∵點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等，
∴PA=PB，
∵點(diǎn)P到∠xOy的兩邊的距離相等，
∴P在∠AOM的平分線上，
∴∠POF=∠OPF=45°，
∴直線EF的方程x=3，
∴0F=PF=3，
∴OP=3

2

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3

2

，0）．
P的坐標(biāo)為（3，3）．
若OP=PM，
則∠PMO=∠POM=45°，
∴∠OPM=90°，
∴OM=

OP

sin45°

=6，
∴M的坐標(biāo)為（6，0）．
若PM=MO，
∴M的坐標(biāo)為（3，0）．
∴M的坐標(biāo)為（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．還考查了等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．