Question

33、如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=DE+CE；
（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE，CE的關(guān)系如何，請證明；
（3）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，BD與DE，CE的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不須證明．
（4）歸納（1），（2），（3），請用簡捷的語言表述BD與DE，CE的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AAS證明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD=CE．根據(jù)AE=AD+DE代換即可；
（2）顯然關(guān)系不成立．同理證明Rt△ABD≌Rt△ACE，得BD=AE；AD=CE．此時(shí)DE=BD+CE；
（3）同（2）；
（4）根據(jù)前面證明的結(jié)論分類歸納．

解答：（1）證明：在△ABD和△CAE中，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
又∠4=∠5=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE．（AAS）    （3分）
∴BD=AE，AD=CE．
又AE=AD+DE，
∴AE=DE+CE，
即BD=DE+CE．             （4分）
（2）BD=DE-CE．           （5分）
證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，
∴△ADB≌△CEA．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，
即 BD=DE-CE．                    （8分）
（3）同理：BD=DE-CE．            （9分）
（4）當(dāng)點(diǎn)B、C在AE異側(cè)時(shí)，BD=DE+CE；當(dāng)點(diǎn)B、C在AE同側(cè)時(shí)，BD=DE-CE．（12分）

點(diǎn)評：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．