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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2bx+c與x軸交于點A(8,0)、B(2,0)兩點,與y軸交于點C.

          (1)如圖1,求拋物線的解析式;

          (2)如圖2,點P為第四象限拋物線上一點,連接PB并延長交y軸于點D,若點P的橫坐標為t,CD長為d,求d與t的函數關系式(并求出自變量t的取值范圍);

          (3)如圖3,在(2)的條件下,連接AC,過點P作PHx軸,垂足為點H,延長PH交AC于點E,連接DE,射線DP關于DE對稱的射線DG交AC于點G,延長DG交拋物線于點F,當點G為AC中點時,求點F的坐標.

          【答案】見解析.

          【解析】

          試題分析:(1)利用待定系數法直接求出拋物線解析式;

          (2)先表示出BH,PH,進而得出HBP的正切值,再用等角的同名三角函數即可表示出OD,即可得出結論;

          (3)先求出直線AC解析式,進而判斷出四邊形DOMN是矩形,最后用三角函數和對稱性求出t,即可得出OD和tanGDN=,即可得出結論.

          試題解析:證明:(1)拋物線y=x2-bx+c過A(8,0)、B(2,0)兩點,

          ,

          ,

          拋物線的解析式為:y=x2x+4

          (2)如圖2,

          過點P作PHAB于點H,

          設點P(t,t2-t+4)

          BH=t2,PH=-t2-t+4

          tanHBP==

          ∵∠OBD=HBP,

          tanOBD=tanHBP,

          -=,

          OD=-t+4,

          CD=4OD=

          d=t(2<t<8),

          (3)如圖3,

          設直線 AC的解析式為y=kx+b,

          ,

          直線AC的解析式為y=-x+4,

          點E(t,-t+4)

          EH=OD=-t+4,

          EHOD,

          四邊形DOHE是矩形,

          DEOH,

          取AO的中點M,

          連接GM,交DE于點N,

          GMOC,

          GNDE,

          四邊形DOMN是矩形,

          OD=NM=-t+4,NG=2MN=t-2,

          DN=OM=4

          tanGDN==t-

          由對稱性得PDE=GDE=HBP

          tanGDN=tanHBP,

          t-=-(t-8),

          t=

          OD=,

          tanGDN=

          設點F(m,m0-m+4

          過點F作FKDE交延長線于點K,

          tanGDN===,

          m1=10,m2=(舍),

          F(10,4),

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          (2)如圖2,M、N為數軸上兩點,點M所表示的數為4,點N所表示的數為﹣2.數所表示的點是【M,N】的好點;
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