Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣bx+c與x軸交于點A（8，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點，連接PB并延長交y軸于點D，若點P的橫坐標為t，CD長為d，求d與t的函數(shù)關系式（并求出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，過點P作PH⊥x軸，垂足為點H，延長PH交AC于點E，連接DE，射線DP關于DE對稱的射線DG交AC于點G，延長DG交拋物線于點F，當點G為AC中點時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；

（2）先表示出BH，PH，進而得出∠HBP的正切值，再用等角的同名三角函數(shù)即可表示出OD，即可得出結(jié)論；

（3）先求出直線AC解析式，進而判斷出四邊形DOMN是矩形，最后用三角函數(shù)和對稱性求出t，即可得出OD和tan∠GDN=，即可得出結(jié)論．

試題解析：證明：（1）∵拋物線y=x2-bx+c過A（8，0）、B（2，0）兩點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x+4

（2）如圖2，

過點P作PH⊥AB于點H，

設點P（t，t2-t+4）

∴BH=t﹣2，PH=-t2-t+4

∴tan∠HBP==，

∵∠OBD=∠HBP，

∴tan∠OBD=tan∠HBP，

∴-=，

∴OD=-t+4，

∴CD=4﹣OD=

∴d=t（2＜t＜8），

（3）如圖3，

設直線 AC的解析式為y=kx+b，

∴

∴，

∴直線AC的解析式為y=-x+4，

∴點E（t，-t+4）

∴EH=OD=-t+4，

∵EH∥OD，

∴四邊形DOHE是矩形，

∴DE∥OH，

取AO的中點M，

連接GM，交DE于點N，

∴GM∥OC，

∴GN⊥DE，

∴四邊形DOMN是矩形，

∴OD=NM=-t+4，NG=2﹣MN=t-2，

∵DN=OM=4

tan∠GDN==t-，

∵由對稱性得∠PDE=∠GDE=∠HBP

tan∠GDN=tan∠HBP，

∴t-=-(t-8)，

∴t=

∴OD=，

∴tan∠GDN=，

設點F（m，m0-m+4

過點F作FK⊥DE交延長線于點K，

tan∠GDN===，

∴m1=10,m2=（舍），

∴F（10，4），