Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，直線AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）若BC⊥AB，且BC=12，AB=8，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BE=CE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，然后利用“角角邊”證明△ABE和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=FE，然后根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明；
（2）先求出BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AE，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得AF=2AE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
解答：（1）證明：∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE，
又∵在四邊形ABFC中，BE=CE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）解：∵BC=12，E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=BC=×12=6，
∵BC⊥AB，
∴AE===10，
∴AF=2AE=2×10=20．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟練掌握各判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．