Question

我們知道：1³=1=

1

4

×1²×2²，1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²…
（1）猜想：1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=

1

4

×

n

²×

（n+1）

²．
（2）計(jì)算：1³+2³+3³+…+10³．

Answer 1

分析：（1）觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)自然數(shù)的立方和等于自然數(shù)的個(gè)數(shù)的平方乘比個(gè)數(shù)大1的數(shù)的平方，再除以4；
（2）根據(jù)（1）的公式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵1³=1=

1

4

×1²×2²，
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，
1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²…，
∴1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=

1

4

×n²×（n+1）²；

（2）1³+2³+3³+…+10³
=

1

4

×10²×11²
=3025．
故答案為：n，（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出平方的底數(shù)與立方的數(shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．