Question

【題目】已知雙曲線y= （x＞0），直線l1：y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+ ．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；
（2）若AB= ，求k的值；
（3）設(shè)N（0，2 ），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，問在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形QMPN是周長(zhǎng)最小的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)k=﹣1時(shí)，l1：y=﹣x+2 ，

聯(lián)立得， ，化簡(jiǎn)得x2﹣2 x+1=0，

解得：x1= ﹣1，x2= +1，

設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)C，則C（0，2 ）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC= 2 （x2﹣x1）=2

（2）

解：根據(jù)題意得： 整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[ （1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB= = ，

= ，

= ，

將①代入得，AB= = （k＜0），

∴ = ，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=﹣

（3）

解：∵y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）過定點(diǎn)F，

∴x= ，y= ，

∴F（ ， ），

設(shè)P（x， ），則M（﹣ + ， ），

則PM=x+ ﹣ = = ，

∵PF= = ，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當(dāng)點(diǎn)P在NF上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)NF的方程為y=﹣x+2 ，

由（1）知P（ ﹣1， +1），

∴當(dāng)P（ ﹣1， +1）時(shí)，PM+PN最小，此時(shí)四邊形QMPN是周長(zhǎng)最小的平行四邊形，

∴Q（﹣ ，2 ）

【解析】（1）求出A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)S△OAB=S△AOC﹣S△BOC計(jì)算即可．（2）利用方程組以及根與系數(shù)的關(guān)系，求出AB，根據(jù)AB= ，列出方程即可解決問題．（3）首先證明PM=PF．推出PM+PN=PF+PN≥NF=2推出當(dāng)點(diǎn)P在NF上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)NF的方程為y=﹣x+2 ，由（1）知P（ ﹣1， +1），由此即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．