Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相交弦定理推論可得出OC²=OA•OB，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法求解即可．
（2）先根據(jù)（1）的拋物線求出M的坐標(biāo)，然后根據(jù)M、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)求出直線MC的解析式．
（3）直線與圓的位置關(guān)系無非是相切或不相切，可連接PC，證PC是否與MC垂直即可．（本題可先求出直線MC與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后分別求出PN，PC，CN的長，用勾股定理進(jìn)行判斷）．

解答：解：（1）連接PC，
∵A（-4，0），B（1，0）
∴AB=5
∵P是AB的中點(diǎn)，且是⊙P的圓心
∴PC=PA=

5

2

，OP=4-

5

2

=

3

2

．
∴OC=

PC2-OP2

=

( 5 2 )2-( 3 2 )2

=2
∴C（0，-2）．
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為y=a（x-1）（x+4），
∴-2=a（0-1）（0+4）
解得a=

1

2

．
∴拋物線為y=

1

2

（x-1）（x+4），
即y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）將y=

1

2

x²+

3

2

x-2配方，得y=

1

2

（x+

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)M為（-

3

2

，-

25

8

）．
設(shè)直線MC為y=kx+b，則有

-2=b - 25 8 =- 3 2 k+b

，
解得

k= 3 4 b=-2

．
∴直線MC為y=

3

4

x-2．

（3）直線MC與⊙P相切．
設(shè)MC與x軸交于點(diǎn)N，
在y=

3

4

x-2中，令y=0，得x=

8

3

．
∴ON=

8

3

，PN=

8

3

+

3

2

=

25

6

，CN=

ON2+OC2

=

( 8 3 )2+22

=

10

3

．
∴CN²+PC²=（

10

3

）²+（

5

2

）²=（

25

6

）²=PN²．
∴∠PCN=90度．
∴MC與⊙P相切．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、切線的判定等知識．