Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．且△OCP與△PDA的面積比為1：4
（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA；
②求邊AB的長(zhǎng)；

（2）如圖2，連結(jié)AP、BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠DPA+∠DAP=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠DPA+∠CPO=90°，

∴∠DAP=∠CPO，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ = = = ，

∴CP= AD=4，

設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊AB的長(zhǎng)為10

（2）

解：結(jié)論：線段EF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．EF=2 ．

理由：如圖2中，作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵M(jìn)Q∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS），

∴QF=FB，

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為2 ．

【解析】（1）①只要證明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可證出△OCP∽△PDA；②根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP= AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ， 求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長(zhǎng)；（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結(jié)論求出PB，即可判斷．