Question

如圖所示，要在底邊BC=160cm，高AD=120cm的△ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)G在AC上，點(diǎn)E、F在BC上，AD交HG于點(diǎn)M．
（1）設(shè)矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；（提示：S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH）
（2）設(shè)矩形EFGH的面積為S，確定S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時，矩形EFGH的面積S最大？

Answer 1

分析：（1）由S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH，可得

1

2

×160×120=

1

2

y（120-x）+

1

2

x（y+160），繼而求得答案；
（2）把y=-

4

3

x+160代入S=xy，即可求得S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由S=-

4

3

x²+160x，可得：S=-

4

3

（x-60）²+4800；則可求得矩形EFGH的面積S最大值．

解答：解：（1）∵S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH，
∴

1

2

×160×120=

1

2

y（120-x）+

1

2

x（y+160），
化簡得：y=-

4

3

x+160；

（2）把y=-

4

3

x+160代入S=xy，
得：S=-

4

3

x²+160x；

（3）將S=-

4

3

x²+160x，
右邊配方得：S=-

4

3

（x-60）²+4800；
∵-

4

3

（x-60）²≤0，
∴當(dāng)-

4

3

（x-60）²=0時，即x=60時，S=-

4

3

（x-60）²+4800有最大值4800．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．