Question

已知：如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)AB分別與x、y軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=

1

2

，OB=4，OE=2．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△BOD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件求出C點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出反比例的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)已知條件求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，再和反比例的函數(shù)解析式聯(lián)立可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x軸于點(diǎn)E．tan∠ABO=

CE

BE

=

1

2

．
∴CE=3．（1分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（-2，3）．（2分）
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

m

x

，（m≠0）
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得3=

m

-2

．（3分）
∴m=-6．（4分）
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-

6

x

．（5分）

（2）∵OB=4，
∴B（4，0）．（6分）
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

1

2

，
∴OA=2，
∴A（0，2）．
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入，得

b=2 4k+b=0

．（8分）
解得

k=- 1 2 b=2

．（9分）
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-

1

2

x+2．
反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=-

6

x

和直線(xiàn)AB的解析式為y=-

1

2

x+2聯(lián)立可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，-1），
則△BOD的面積=4×1÷2=2．
故△BOD的面積為2．（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題．主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．求A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)需用正切定義或相似三角形的性質(zhì)，起點(diǎn)稍高，部分學(xué)生感覺(jué)較難．