Question

【題目】如圖，CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)是直線CD上的兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝α.

(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖(a)，若∠BCA＝90°，α＝90°，則BE________CF，EF________|BE－AF|(填“>”“<”或“＝”)；

②如圖(b)，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋�(gè)關(guān)于α與∠BCA關(guān)系的條件________，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立；

(2)如圖(c)，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠BCA＝α，請(qǐng)寫出EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明)．

Answer 1

【答案】(1)①＝，＝；②所填的條件是：α＋∠BCA＝180°.證明見(jiàn)解析；(2)EF＝BE＋AF.

【解析】

(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可

(2)求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可.

解：(1)①如圖，E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，

∴∠BEC=∠AFC=90°，

∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF(AAS)，

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

②∠α＋∠ACB=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；

證明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α＋∠ACB=180°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF，CE=AF，

∴EF=CF－CE=BE－AF，

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF－BE，

∴EF=|BE－AF|；

(2)EF=BE＋AF

理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA(AAS)，

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE＋CF，

∴EF=BE＋AF.